Основные дидактические функции задач по теме "Площади фигур" и их реализация в учебном процессе

Приведем пример задач сборника, при решении которых учителю необходимо показать идею решения учащимся.

Задача. Площадь треугольника ABC равна P. Прямая DE, параллельная основанию AC, отсекает от треугольника ABC треугольник BED площадью Q. На стороне AC взята произвольная точка M и соединена отрезками прямых с точками D и E. Чему равна площадь четырехугольника BEMD? (рис.29 )

Рис.30

Учителю следует сообщить учащимся, что при решении данной задачи необходимо воспользоваться идеей, которая часто оказывается плодотворной при отыскании площадей фигур. Следует также сделать акцент на том, что точка M – произвольная точка стороны AC. Вместе с учащимися следует отметить тот факт, что четырехугольник BEMD состоит из фиксированного треугольника BED и подвижного, зависящего от выбора точки M, треугольника DEM. Но где бы на AC мы ни выбрали точку M, высота треугольника DEM, проведенная к его основанию DE, не изменится по длине, значит, не изменится и площадь треугольника DEM. Следовательно точку M мы можем расположить на AC наиболее выгодным, удобным для нас способом, например, совместив ее с точкой A. И тогда речь будет идти об отыскании площади не четырехугольника BEMD, а треугольника BEA с той же площадью (рис.30 ).

Далее, сравниваем треугольники ABE и BDE. У них общая высота, проведенная из вершины E, значит их площади относятся как основания: , т.е.

(1)

Теперь сравниваем треугольники ABC и BDE. Они подобны, значит, их площади относятся как квадраты соответственных сторон: , т.е.

(2)

Из (1) и (2) получаем:

, т.е. .

Ответ: .

При решении этой задачи мы оперировали различными понятиями и теоремами, что в свою очередь доказывает возможность применения задач "на площади" предлагаемого сборника на различных этапах работы с понятиями и теоремами. В частности, мы заменили четырехугольник равновеликим ему треугольником. При этом использовав множество важных геометрических фактов, касающихся не только темы "Площади фигур", но и других тем школьного курса геометрии, а именно:

Применение понятия равновеликости фигур;

Использование того факта, что площадь треугольника не изменяется при передвижении вершины треугольника по прямой, параллельной основанию;

Использование теоремы о том, что если треугольники имеют равные высоты, то отношение их площадей равно отношению оснований (сторон, на которые опущены высоты);

Использование признака подобия треугольников;

Применение теоремы об отношении площадей подобных фигур.

Решение подобных задач позволяет глубже оценить взаимосвязь различных разделов геометрии, оценить стройность и привлекательность этой науки, тем самым глубже осознать ее эстетическую сторону. Продолжим рассмотрение задач, идею решения или само решение которой целесообразно дать учащимся (сначала желательно предоставить учащимся возможность самим подумать над задачей).

Задача. Два параллелограмма расположены так, как показано на рис.31: они имеют общую вершину и еще по одной вершине у каждого из параллелограммов лежит на сторонах другого параллелограмма. Докажите, что площади параллелограммов равны.

Рис.31

Психолого-педагогические основы сенсорного развития детей дошкольного возраста
В педагогике сенсорное воспитание рассматривается как основа умственного, эстетического, физического, трудового воспитания ребенка. Дошкольный возраст – это возраст, когда складываются и развиваются сенсорные процессы. Поэтому сенсорное воспитание в этот период занимает важнейшее место. Под сенсорн ...

Самостоятельная работа учащихся, её признаки и условия организации
самостоятельная работа младший школьник чтение Любая наука ставит своей задачей не только описать и объяснить тот или ной круг явлений или предметов, но и в интересах человека управлять этими явлениями и предметами, и, если нужно, преобразовывать их. Управлять и тем более преобразовывать явления мо ...

Основы теории площадей
Рассмотрим основные положения теории площадей. Начнем с определения площади многоугольника. Простым многоугольником называется простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, ограниченной ею. Будем рассматривать только простые многоугольники, называя их для краткости многоугольниками. Определе ...